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发布时间:2019-08-14 12:29 来源:未知 编辑:admin

  放缩法是指在证明不等式时,根据需要证明不等式的值适当的放大或缩小,使它化繁为简,化难为易,从而达到证明的重要方法。

  放缩法的合理运用,往往能收到事半功倍的效果,有时能令人拍案叫绝;但其缺点也是显而易见,如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”,容易造成不能同向传递了,即放缩时必须时刻注意放缩的跨度,放不能过头,缩不能不及,所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。

  笔者通过多年的教学实践证明,若能坚持以下“四个有利于的原则”进行合理的放缩,则容易直达解题目标。

  当所证明不等式的其中一边是某一数列的前n项和,但其和不易求出时,则可以对其通项作合理的分析,通过适当的放大或缩小得到一个易于求出其和的新数列,再注意放大或缩小后的数列的前n项和与不等式的另一边相衔接,从而使问题得到解决。

  这两题是关于自然数的不等式,较常规的解法是选择数学归纳法证明;若用数学归纳法证明本题,其过程会是个“马拉松”式的工程。

  而上述证法的基本思路是通过放缩后能有利于用“拆项消去法”、“同分母相加”来求出其和。就把无限和复杂的问题转化为有限和简单的问题了,自然比常规常规方法便捷了许多。比如说例1,本来运算复杂的问题,通过把每一项作恰当的放大,把一项拆成了两项之差,再求解。

  如证明不等式的其中一边是某一数列的前n项乘积,但其积不易求出,则可对各项作适当的放大或缩小,使其积易于求出,并注意和不等式的另一边的对话,往往能使问题得到解决。

  在上述证明中,通过引进A的“对偶式”B,使其过程更加简捷,把复杂的问题简单化。当然本题也可用数学归纳法加以证明,若用归纳法证明,其复杂的程度可想而知。

  若不等式的一边为常数,另一边是含有多个字母的代数式,则可把这个代数式看成是关于这些字母的多元函数,通过对多元函数的合理放缩,逐步减少变量,最终得到那个常数即可。

  事实上,上述解法的基本思路是先把α看成常数,求出关于β的函数的最小值,“解决”β后,再求关于α的函数的最小值即可。

  用放缩法证明不等式时,最不易把握的是放和缩的度,放得过大,缩得过小都会导致解题失败,当不等式能取到等号时,则每一步的放和缩都不能和等号成立条件相矛盾,即等号成立条件可以看成是进行放缩的“导航仪”。

  在平时的数学活动中,特别是在证明不等式的时候,如果始终坚持科学辩证严谨的数学思想,始终把握好放与缩的“度”,它终会给我们带来“柳暗花明又一村”的。下面再看几个例子:

  此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数,再对分母进行放缩,从而对左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量,分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大,则只要把分子放大或分母缩小即可;如需缩小,则只要把分子缩小或分母放大即可。

  本题先采用减小分母的两次放缩,再裂项,最后又放缩,有的放矢,直达目标.4放大或缩小“因式”;

  此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧,放缩拆项时,不一定从第一项开始,须根据具体题型分别对待,即不能放的太宽,也不能缩的太窄,线利用基本不等式放缩

  数列不等式放缩法,主要有裂项放缩和等比放缩。下面介绍两种方法的基本步骤,希望对读者有所启发。

  以上介绍了用“放缩法”几种常用策略,解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法,有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中,适当地进行放缩,可以化繁为简、化难为易,达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握,常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此,使用放缩法时,如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标,就必须根据欲证结论,抓住题目的特点。掌握放缩技巧,真正做到弄懂弄通,并且还要根据不同题目的类型,采用恰到好处的放缩方法,才能把题解活,从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力,分析问题和解决问题的能力。希望大家能够进一步的了解放缩法的作用,掌握基本的放缩方法和放缩调整手段。最全导数专题(含答案)精品收藏:圆锥曲线实用讲义重磅:好题速递400道(word分享)函数导数专题合集(上册word分享) 收藏:向量专题(1)和(2)word版! 分享:导数的11个专题(243页免费获取)最新:破解高考选填压轴题策略(word分享)

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