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求高二不等式证明所有题型和解析!谢谢!

发布时间:2019-07-07 21:41 来源:未知 编辑:admin

  注 ①在以上不等中令t=1+x(x>-1),即得著名的贝努利不等式(1+x)n≥1+nx

  分析 本例有多种精彩证法。根据对称性,可从左边一项、两项入手,当然也可根据平均值不等式或幂分拆不等式从整体入手。

  例4 已知关于x的实系数方程x2+px+q=0有两个实数根α,β。证明:若α<2,β<2,则q<4,且2p>4+q。

  由α<2,β<2,知α2<4,β2<4,故最后不等式成立,从而原不等式得证。

  此不等式显然成立,当且仅当a=b=c,即三角形为正三角形时取等号。故左边不等式获证。

  (2)假设f(x)=0的两根x1,x2的绝对值不都小于1,不妨设x1≥1,那么由韦达定理,有

  注 反证法的逻辑程序是:否定结论→推出矛盾→肯定结论。反证法常用于直接证明难于入手的命题,或结论中含“不存在”、“都是”、“都不是”、“至少”、“至多”、之类的存在性命题。

  不等式的证明问题,由于题型多变、方法多样、技巧性强,加上无固定的规律可循,往往不是用一种方法就能解决的,它是多种方法的灵活运用,也是各种思想方法的集中体现,因此难度较大。解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式,灵活运用常用的证明方法。

  1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。

  (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步骤为:①作差:考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体;②变形:把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。

  (2)商值比较法的理论依据是:“若a,b∈R+,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步骤为:①作商:将左右两端作商;②变形:化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1。应用范围:当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法。

  2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”。其逻辑关系为:AB1 B2 B3… BnB,即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。

  3.分析法分析法是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”。用分析法证明AB的逻辑关系为:BB1B1 B3 … BnA,书写的模式是:为了证明命题B成立,只需证明命题B1为真,从而有…,这只需证明B2为真,从而又有…,……这只需证明A为真,而已知A为真,故B必为真。这种证题模式告诉我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。

  4.反证法有些不等式的证明,从正面证不好说清楚,可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式AB,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定AB。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时,可以考虑用反证法。

  5.换元法换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。(1)三角代换法:多用于条件不等式的证明,当所给条件较复杂,一个变量不易用另一个变量表示,这时可考虑三角代换,将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当,可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题,实施的三角代换方法有:①若x2+y2=1,可设x=cosθ,y=sinθ;②若x2+y2≤1,可设x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤1);③对于含有的不等式,由于x≤1,可设x=cosθ;④若x+y+z=xyz,由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知,可设x=taaA,y=tanB,z=tanC,其中A+B+C=π。(2)增量换元法:在对称式(任意交换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序(如abc等)的不等式,考虑用增量法进行换元,其目的是通过换元达到减元,使问题化难为易,化繁为简。如a+b=1,可以用a=1-t,b=t或a=1/2+t,b=1/2-t进行换元。

  6.放缩法放缩法是要证明不等式AB成立不容易,而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的理论依据主要有:(1)不等式的传递性;(2)等量加不等量为不等量;(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。常用的放缩技巧有:①舍掉(或加进)一些项;②在分式中放大或缩小分子或分母;③应用均值不等式进行放缩。

  1.在用商值比较法证明不等式时,要注意分母的正、负号,以确定不等号的方向。

  2.分析法与综合法是对立统一的两个方面,前者执果索因,利于思考,因为它方向明确,思路自然,易于掌握;后者是由因导果,宜于表述,因为它条理清晰,形式简洁,适合人们的思维习惯。但是,用分析法探求证明不等式,只是一种重要的探求方式,而不是一种好的书写形式,因为它叙述较繁,如果把“只需证明”等字眼不写,就成了错误。而用综合法书写的形式,它掩盖了分析、探索的过程。因而证明不等式时,分析法、综合法常常是不能分离的。如果使用综合法证明不等式,难以入手时常用分析法探索证题的途径,之后用综合法形式写出它的证明过程,以适应人们习惯的思维规律。还有的不等式证明难度较大,需一边分析,一边综合,实现两头往中间靠以达到证题的目的。这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系。分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点。

  3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”,也没有必要要求“步步可逆”,因为这时仅需寻找充分条件,而不是充要条件。如果非要“步步可逆”,则限制了分析法解决问题的范围,使得分析法只能使用于证明等价命题了。用分析法证明问题时,一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语。

  4.反证法证明不等式时,必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾。

  5.在三角换元中,由于已知条件的限制作用,可能对引入的角有一定的限制,应引起高度重视,否则可能会出现错误的结果。这是换元法的重点,也是难点,且要注意整体思想的应用。

  6.运用放缩法证明不等式时要把握好“放缩”的尺度,即要恰当、适度,否则将达不到预期的目的,或得出错误的结论。另外,是分组分别放缩还是单个对应放缩,是部分放缩还是整体放缩,都要根据不等式的结构特点掌握清楚。

  在比较两个实数 和 的大小时,可借助 的符号来判断。步骤一般为:作差——变形——判断(正号、负号、零)。变形时常用的方法有:配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。

  从要证明的结论出发,一步一步地推导,最后达到命题的已知条件(可明显成立的不等式、已知不等式等),其每一步的推导过程都必须可逆。

  证题时,从已知条件入手,经过逐步的逻辑推导,运用已知的定义、定理、公式等,最终达到要证结论,这是一种常用的方法。

  在证题时,一般在 , 均为正数时,借助 或 来判断其大小,步骤一般为:作商——变形——判断(大于1或小于1)。

  先假设要证明的结论不对,由此经过合理的逻辑推导得出矛盾,从而否定假设,导出结论的正确性,达到证题的目的。

  把所要证明的结论先分解为几个较简单部分,分别证明其各部分成立,再利用同向不等式相加或相乘的性质,使原不等式获证。

  在证题过程中,根据不等式的传递性,常采用舍去一些正项(或负项)而使不等式的各项之和变小(或变大),或把和(或积)里的各项换以较大(或较小)的数,或在分式中扩大(或缩小)分式中的分子(或分母),从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当,不要过头。常用方法为:改变分子(分母)放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。

  对于含有 的不等式,当 取第一个值时不等式成立,如果使不等式在 时成立的假设下,还能证明不等式在 时也成立,那么肯定这个不等式对 取第一个值以后的自然数都能成立。

  在证题过程中,以变量代换的方法,选择适当的辅助未知数,使问题的证明达到简化。

  通过构造一元二次方程,利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围,来证明所要证明的不等式。

  为常数,则当 的值之间越接近时, 的值越大(或不变);当 时, 取最大值,即

  当 属于某区间,有 ,则 单调上升;若 ,则 单调下降。推广之,若证 ,只须证 及 即可, 。

  利用中值定理: 是在区间 上有定义的连续函数,且可导,则存在 , ,满足 来证明某些不等式,达到简便的目的。

  按照一定的法则,把一个数或式分解为几个数或式,使复杂问题转化为简单易解的基本问题,以便分而治之,各个击破,从而达到证明不等式的目的。

  在证明不等式时,有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等,可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的。

  延长AB至D,使 ,延长AC至E,使 ,过C作AD的平行线交DE于F,则 ∽ ,令 ,

  另外,还可以利用重要的不等式来证题,如平均不等式、柯西(Cauchy)不等式、琴生(Jensen)不等式、绝对值不等式、贝努利(J.Bernoulli)不等式、赫尔德(O.Hlder)不等式、三角形不等式、闵可夫斯基(H.Minkowski)不等式等,这里不再烦述了。

  在实际证明中,以上方法往往相互结合、互相包含,证题时,可能同时运用几种方法,结合起来加以证明。

  [1]李玉琪主编初等代数研究北京:中国矿业大学出版社,1993

  [2]方初宝等编数学猜想法浅谈重庆:科技文献出版社重庆分社,1988

  展开全部不等式的证明,基本方法有以下几种,你都好好看看,把每种题型都背下来,相信你能学好的!

  分析法:当无法从条件入手时,就用分析法去思考,但还是要用综合法去证明。两个方法是密不可分的。

  如果a、b都为实数,那么a平方+b平方≥2ab,当且仅当a=b时等号成立

  如果a、b都是正数,那么(a+b)/2 ≥√ab ,当且仅当a=b时等号成立。(这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数,当且仅当a=b时等号成立。)

  算术平均数,arithmetic mean,用一组数的个数作除数去除这一组数的和所得出的平均值,也作average

  几何平均数,geometric mean,作为n个因数乘积的数的n次方根,通常是n的正数根

  方法很多,数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等

  柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据,我们在教学中应给予极大的重视。

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