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不等式证明都有哪几种方法

发布时间:2019-05-31 18:05 来源:未知 编辑:admin

  ②“分析法”证题是一个非常好的方法,但是书写不是太方便,所以我们可以利用分析法寻找证题的途径,然后用“综合法”进行表达.

  (6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元.

  证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.

  比较法是证明不等式的最基本方法,具体有作差比较和作商比较两种。基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。当求证的不等式两端是分项式(或分式)时,常用作差比较,当求证的不等式两端是乘积形式(或幂指数式时常用作商比较)

  分析:由题目观察知用作差比较,然后提取公因式,结合a+b≥0来说明作差后的正或负,从而达到证明不等式的目的,步骤是10作差20变形整理30判断差式的正负。

  分析:由求证的不等式可知,a、b具有轮换对称性,因此可在设a>b>0的前提下用作商比较法,作商后同1比较大小,从而达到证明目的,步骤是:10作商20商形整理30判断为与1的大小

  利用基本不等式及其变式证明不等式是常用的方法,常用的基本不等式及 变形有:

  综合法就是从已知或已证明过的不等式出发,根据不等式性质推算出要证明不等式。

  从理论入手,寻找命题成立的充分条件,一直到这个条件是可以证明或已经证明的不等式时,便可推出原不等式成立,这种方法称为分析法。

  分析:观察求证式为一个连锁不等式,不易用比较法,又据观察求证式等价于 |a-c|<c2-ab也不适用基本不等式法,用分析法较合适。

  放缩法是在证明不等式时,把不等式的一边适当放大或缩小,利用不等式的传递性来证明不等式,是证明不等式的重要方法,技巧性较强常用技巧有:(1)舍去一些正项(或负项),(2)在和或积中换大(或换小)某些项,(3)扩大(或缩小)分式的分子(或分母)等。

  分析:观察式子特点,若将4个分式商为同分母,问题可解决,要商同分母除通分外,还可用放缩法,但通分太麻烦,故用放编法。

  换元法是许多实际问题解决中可以起到化难为易,化繁为简的作用,有些问题直接证明较为困难,若通过换元的思想与方法去解就很方便,常用于条件不等式的证明,常见的是三角换元。

  是一种常用的换元方法,在解代数问题时,使用适当的三角函数进行换元,把代数问题转化成三角问题,充分利用三角函数的性质去解决问题。

  对于在已知条件中含有若干个等比式的问题,往往可先设一个辅助未知数表示这个比值,然后代入求证式,即可。

  有些不等式从正面证如果不好说清楚,可以考虑反证法,即先否定结论不成立,然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理,逐步推导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论,从而肯定原有结论是正确的,凡是至少、唯一或含有否定词的命题,适宜用反证法。

  分析:本题已知为p、q的三次 ,而结论中只有一次 ,应考虑到用术立方根,同时用放缩法,很难得证,故考虑用反证法。

  与自然数n有关的不等式,通常考虑用数学归纳法来证明。用数学归纳法证题时的两个步骤缺一不可。

  根据求证不等式的具体结构所证,通过构造函数、数列、合数和图形等,达到证明的目的,这种方法则叫构造法。

  1、反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,从而肯定原结论的正确;

  2、放缩法:欲证 ,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量使得 (或 ),常用的放缩方式:

  2、换元法(主要指三角代换法)多用于条件不等式的证明,此法若运用恰当,可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化成简单的三角问题.

  3、含有两上字母的不等式,若可化成一边为零,而另一边是关于某字母的二次式时,这时可考虑判别式法,并注意根的取值范围和题目的限制条件.

  4、有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证,放缩时要看准目标,做到有的放矢,注意放缩适度.

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