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高中数学 用放缩法证明不等式的方法与技巧

发布时间:2019-05-26 00:29 来源:未知 编辑:admin

  所谓放缩法就是利用不等式的传递性,对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程,在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”,否则就不能同向传递了,此法既可以单独用来证明不等式,也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。

  证明:由题设得a2+ab+b2=a+b,于是(a+b)2>a2+ab+b2=a+b,又a+b>0,得a+b>1,又ab<(a+b)2,而(a+b)2=a+b+ab<a+b+(a+b)2,即(a+b)2<a+b,所以a+b<,故有1<a+b<。

  一个分式若分子变大则分式值变大,若分母变大则分式值变小,一个真分式,分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大,利用这些性质,可达到证题目的。

  证明:由于a、b、c为正数,所以,,,所以,又a,b,c为三角形的边,故b+c>a,则为真分数,则,同理,,

  若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题。

  对于不等式的某个部分进行换元,可显露问题的本质,然后随机进行放缩,可达解题目的。

  证明:由于,可设a=csina,b=ccosa(a为锐角),因为,,则当时,,,

  证明:构造函数,首先判断其单调性,设,因为,所以,所以在上是增函数,取,,显然满足,

  放缩法为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正(负)项”而使不等式各项之和变小(大),或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”,或“在乘积式中用较大(较小)因式代替”等效法,而达到其证题目的。

  即欲证,欲寻找一个(或多个)中间变量C,使,由A到C叫做“放”,由B到C叫做“缩”。

  3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形,一般用于两边差别较大的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”,都是用于不等式证明中局部放缩。

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